O diamante de Pitágoras

- Geometria -

De Pitágoras? Mas a "gema" não era egípcia? Semelhante ao diamante, que antes da lapidação não tem brilho, o grande teorema surgiu há cerca de 4000 anos no Egito. Mas foi o matemático grego que imprimiu sua marcante "lapidação", há cerca de 2500 anos.
Para legitimar sua autenticidade, muitos estudiosos inclusive Leonardo da Vinci, o submeteram à rigorosas provas matemáticas ao longo de sua história.
Aqui, o filósofo "lapida"uma elegante configuração geométrica, que constitui prova matemática do teorema de Pitágoras.
Acompanhe a construção, em seus passos conclusivos.




Passo 1


Considerando um triângulo retângulo ABC qualquer.



Passo 2


a² + b² = c²

O Teorema de Pitágoras afirma que
a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.



Passo 3


Rebata o quadrado da hipotenusa sobre
o triângulo ABC e os quadrados dos catetos.
Assim o triângulo retângulo se reproduzirá
crongruentemente em EDA.


Passo 4


Trace a bissetriz ID, que divide exatamente ao meio os quadrados
dos catetos e o da hipotenusa, surgindo o polígono IDAB.


Passo 5


Trace o segmento HG. O triângulo retângulo
volta a reproduzir-se congruentemente em HGC,
e surge o polígono HGDI que sendo congruente
a IDAB por simetria ao eixo ID, têm área igual.


Passo 6


Removidos do polígono IDAB, os triângulos IKB e JDA,
e do polígono HGDI, o triângulo HGC,
ficaram os triângulos IHC e CGD, e o polígono KJAB,
que representam exatamente metade dos quadrados dos catetos
e metade do quadrado da hipotenusa.


Passo 7


Os triângulos HGC, EDA e ABC são congruentes.
Os quadrados HCBI e EDML são congruentes.
IB é paralelo a ED, e por simetria, KB é congruente a EJ,
e IK congruente a JD. Logo os triângulos IKB e EDJ são congruentes.



Passo 8


Sendo IKB e EDJ congruentes, a soma das áreas
de IKB e JDA é igual a área do triângulo HGC.


Passo 9


Divididos pela bissetriz ID, os quadrados dos catetos
e o da hipotenusa resultam respectivamente
nos triângulos IHC e CGD e no trapézio KJAB.
Sendo a soma das áreas dos triângulos igual a área
do trapézio, efetiva-se essa construção geométrica
que constitui prova matemática do teorema de Pitágoras.

3 comentários:

  1. Vera Henriques,

    Sim a ostra é egípcia, mas o diamante é eterno...
    Pitágoras não estaria simbolizando o saber da mineralogia simbólica indiana que revela o diamante maduro a partir do embrião do cristal? Então, ... por que, não dizer... o diamante de Pitágoras?

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  2. ANGELA REIS

    CONCLUI-SE QUE A LAPIDAÇÃO REFERENTE A UMA DETERMINADA COISA,QUE PARECIA PELA SUA APARÊNCIA NÃO SER IMPORTANTE , APÓS DELICADAMENTE PASSADO PELO UM PROCESSO DE CUIDADOS, MOSTROU-SE EXUBERANTE AOS OLHOS DE QUEM A LAPIDOU!COM SENTIDOS DE SIGNIFICADOS DE VÁRIAS FORMAS ESPECIAIS E DE MUITA IMPORTÂNCIA . AO LONGO DO TEMPO TORNOU-SE MUITO VALOROSA .ESTA OBRA QUE JÁ EXISTIA MAS NÃO ERA PERCEBIDA,TENDO SEGUIMENTO DE ENTENDIMENTOS DIFERENCIADOS DE REALIDADE VISUALIZADAS.

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  3. Amorim:

    Como toda lapidação depende o ourives que a executa, os nossos aprendizes dessa arte poderiam melhor entendê-la se os mestres, usando por exemplo o Passo 2 da explicação, explicassem que um número, quando elevado ao quadrado, não é a simples operação aritmética de multiplicação dele por si mesmo, mas que se os dispusermos geometricamente, perceberemos que um grande quadrado de 3 é formado por nove idênticos quadrados menores no interior.

    Para demonstrar isso em sala de aula é muito fácil. Se o piso da sala é formado por lajotas quadradas, basta mandar o aluno olhar para o chão, e será fácil explicar que três quadrados de comprimento por três quadrados de largura formam um grande quadrado com 9 unidades.

    Faz-se o mesmo com outro quadrado de quatro, que resultará em 16 unidades idênticas, e teremos, de ambos, os dois catetos formados pelas unidades internas idênticas.

    Basta usar a mesma unidade dos catetos na hipotenusa e obteremos um quadrado grande formado por 25 unidades.

    Essa explicação, retirada do livro O Homem Que Calculava (Malba Tahan), é usada pela minha esposa, professora no Ensino Fundamental da rede municipal já no aprendizado da Taboada sem qualquer dificuldade no aprendizado das crianças.

    O que prova que a Geometria é a Mãe da Matemática, e não o contrário, usualmente sugerido.

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